türevin kullanım alanları

Türevin hikayesi eski Yunanlıların bir çembere istenilen noktada teğet çizme merakıyla başladığı biliniyor.  "Acaba bir eğriye teğet bulmak için bazıları neden ilgi  duymuşlar?" diye merak edebilirsiniz. Kaldı ki , problemi çözmek için acil bir pratik gereksinimi de yoktu. Zamanın matematikçileri daha  önceki ve sonraki bir çok matematikçi gibi , meraktan, gizemli olanı aydınlatmak arzusuyla yönelmişlerdir.. Onlar , şekillendirmiş oldukları araçların onsekizinci yüzyıl gibi kısa bir süre içinde  hareket , akışkanların akışı, ısı ve astronomi alanlarında kullanılacağını pek ümit etmemişlerdi.

Teğet doğrularının bulunması türevin bir çok uygulamasından ancak bir tanesidir. Örneğin türev ,  bir niceliğin nasıl bir hızla değiştiğinin bulunmasında da yardımcı olur. Türev, bir noktada veya özel bir anda bilgi sağlar ve yerel bilgi diye adlandırılır. Bizi bütünden yerele getirir. Örneğin bir cismin toplam yaptığı yoldan herhangi bir andaki hıza götürür (hesaplamamızı sağlar). Türev bir fonksiyonun ne kadar çabuk değiştiğini ölçer. Türev , geometri veya fizik dünyasından alınan eğim, hız, büyüme ve yoğunluk kavramları üzerinde çalışır.

 

Şimdi size türevin Biyoloji , Fizyoloji , Ekonomi, Enerji alanlardaki kullanımlarından bahsedeceğim.

Biyoloji

P(t) , bir nüfusun t anındaki büyüklüğünü ölçen türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Buna göre P'(t), nüfusun t anında hangi hızda arttığını  [ eğer P' (t)> 0 ise ] veya azaldığını [ eğer P' (t)< 0 ise ] belirtir.

Fizyoloji

Q(t) , bir gözlemin ilk t saniyesinde bir atardamardan akan kanın cm³   olarak miktarı olsun . Buna göre , Q'(t) , t anındaki  atardamardan akan kanın akış hızını cm³/ saniye   cinsinden beliritr.

Ekonomi

C(x) , üretilen x adet buzdolabının TL olarak maliyeti olsun. [Gerçekte ,  x bir tamsayıdır;ekonomi teori ve pratiğinde, C(x) fonksiyonunun , belirli bir aralıkta , tüm gerçel sayılar için tanımlı ve böylece türevlenebilir olduğunu kabul etmek daha uygundur.] C'(x) türevine marjinal maliyet denir(nedir). Marjinal maliyet , şimdi göstereceğimizz gibi , (x+1)'inci buzdolabının üretim maliyetidir.  x+1 sayılı buzdolabının   gerçek üretim maliyeti , ilk x+1 buzdolabının  üretim maliyetiyle ilk x buzdolabının  üretim maliyeti arasındaki arasındaki farktır.  O halde , (x+1)'inci  buzdolabının üretim maliyeti, C(x+1)-C(x) veya  [ C(x+1)-C(x) ] /1  olur. Bu bağıntı , türevin tanımına göre , C'(x) için yaklaşık bir değerdir.  Ya  da tersinden bakacak olursak . C'(x) ,(x+1)'inci buzdolabının üretim maliyeti olan [ C(x+1)-C(x) ] /1 oranının yaklaşık bir değeridir. 

 

Benzer bir şekilde  R(x) fonksiyonu x buzdolabının toplam geliri ise , R'(x) türevine marjinal gelir denir. Marjinal gelir , (x+1)'inci buzdolabının satılmasıyla elde edilen ek gelir gibide düşünülebilir.

Enerji

Q(t) varil olarak ölçülen  ve t anında yeryüzünde bulunan toplam ham petrol miktarı olsun . (1 varil , 42 galondur veya 16 litredir .) Q'(t) ise , Q(t) fonksiyonunun değişim hızıdır. Eğer yeni rezervler oluşturulmazsa Q'(t)  negatif  ve günde yaklaşık olarak -50.000.000 varil  demektir. Q(t ) için t=1980'de yapılan tahmini hesaplar değişmektedir ancak; 2.10¹²  varilin üzerinde değildir. Eğer Q'(t)  sabit kalırsa  tüm bilinen ve varsayılan rezervler bir yüzyıl içerisinde tükenmiş olacaktır.

 

Petrolün veya başka bir doğal  kaynağın  kullanıma hızı  üzerinde yapılan varsayımlar, türevle ilgili yaklaşık hesaplamalara bağlıdır.

TÜREVİN TARİHÇESİ

ISAAC NEWTON:Tüm zamanların en büyük bilim insanlarından biri sayılan, kendi adıyla anılan hareket yasalarını bulan ünlü İngiliz fizikçi ve matematikçi. Olağanüstü otoritesinin ana kaynağı, mekaniği aksiyomatik temeller üzerine kuran ve hem elmayı yere düşüren, hem de Ay'ı Dünya'nın etrafında döndüren çekim yasasını içeren büyük kitabı Principia Mathematica (1687) idi. Özenli bir matematiksel tümdengelimle, Kepler'in gözleme dayanarak ortaya koyduğu gezegenlerle ilgili yasalarının, açıklamalarını, yerçekiminin ters kare yasasında bulduğunu gösterdi. Gökcisimlerinin ve gelgit hareketinin birçok yönünün dinamik açıklamasını yaptı. Küreler için iki cisim problemini çözdü ve Ay'ın hareketi kuramının başlangıcını oluşturdu. Kürelerin çekimi problemini çözerek, potansiyel kuramının temellerini attı. Konularını aksiyomatik olarak ele alırken, mutlak uzay ve mutlak zaman önermesini kabul etti. Evrensel kütle çekim yasası ve ışığın bileşenleri yasası üzerine temel görüşlerini 1665-66 yıllarında Cambridge'i saran vebadan kurtulmak için kaçtığı, doğum yeri olan çiftlikte geliştirdi. Bilim tarihinde bundan daha verimli başka bir iki yıl yoktur. Newton'un "flüksiyonlar"ı (diferansiyel hesap) keşfetmesi, Wallis'in kitabından öğrendiği sonsuz serilerle yakından ilgilidir. Onun binom teoremini kesirli ve negatif üslerle genişletmesi, binom serisini keşfetmesini sağladı. Bu da flüksiyonlar kuramını cebirsel ya da aşkın (transandant) tüm eğrileri kapsayacak biçimde genişletmesine yardımcı oldu. Ayrıca konikler ve düzlemsel kübik eğriler üzerine de çalıştı. Başka bir katkısı, sayısal denklemlerin köklerine yaklaşımlar bulma yöntemiydi.